\(\left\{{}\begin{matrix}a+8-c+d=0\\\dfrac{\left|a-8+2c+d\right|}{\sqrt{a^2+16+c^2}}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3c-16\right)^2=25\left(a^2+c^2+16\right)\)

\(\Rightarrow25a^2+16c^2+96c+144=0\)

\(\Rightarrow25a^2+16\left(c+3\right)^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\c=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d=c-a-8=-11\)

\(\Rightarrow a+c+d=-14\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(8;0;-2\right)=2\left(4;0;-1\right)\)

Phương trình AB có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+4t\\y=2\\z=2-t\end{matrix}\right.\)

Tọa độ M thỏa mãn:

\(5+4t+2-3\left(2-t\right)+4=0\) \(\Rightarrow t=-\dfrac{5}{7}\) 

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{15}{7};2;\dfrac{19}{7}\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA=\dfrac{9\sqrt{17}}{7}\\MB=\dfrac{5\sqrt{17}}{7}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{9}{5}\)

Đáp án C.

Ta có B C →   = - 2 ; - 1 ; - 2  nên phương trình đường thẳng BC là x = 1 - 2 t y = - t   ( t ∈ ℝ ) z = 2 - 2 t  .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) . Khi đó A H   =   d A ; P ≤ A I  và AH đạt giá trị lớn nhất khi H ≡ I . Suy ra mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với AI.

Từ I ∈ B C ⇒ I 1 - 2 t ; - t ; 2 - 2 t  và A I   → = - 1 - 2 t ; - t - 5 ; - 1 - 2 t  .

Lại có A I ⊥ B C ⇔ A I   → . B C   → = 0 ⇔ 2 ( 1 + 2 t ) + ( t + 5 ) + 2 ( 1 + 2 t ) = 0 ⇔ t = - 1 .

Mặt phẳng (P) đi qua I(3;1;4) và nhận VTPT là A I   → = 1 ; - 4 ; 1  nên có phương trình tổng quát là: x - 4 y + z - 3 = 0 .

Vậy a = 1 , b = - 4 , c = 1 , d = - 3 → M = 1 + 1 - 4 - 3 = - 2 7 .

Do (P) song song (Q) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y-3z+d=0\) với \(d\ne4\)

\(d\left(M;\left(P\right)\right)=d\left(N;\left(P\right)\right)\Rightarrow\dfrac{\left|1+6+21+d\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{\left|5+0+3+d\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\left(-3\right)^2}}\)

\(\Rightarrow\left|d+28\right|=\left|d+8\right|\Rightarrow d=-18\)

\(\Rightarrow b+c+d=-20\)

Đáp án đúng : A